Kagome 是黑白还是中庸？

人类对自然世界的认知，甚至对人类自身社会活动的认知，当然是高级的哲学问题。对于 Ising 这种处于底层的学人而言，既无可能去触及、亦无足够高度去触及这些高深道理。不过，如果一定要对如此认知做一些让行家耻笑的搬弄是非，其实也挺好玩的。正因为观点显得无知，就更会有那种“一忽儿”的趣味。例如，Ising 认为西方自然科学的认知乃从最简单的“黑 / 白”、“是 / 否”、“0 / 1”这样的二元两态分类开始。人类许多努力和事业，都是为了将这 0 / 1 两态的每一态都整得稳稳当当、厚厚实实。注意，本文中“0 / 1”两态是广义的、非局限于物理上的两简并态，更多表达的是某个物态或功能的左右两个极端。东方的认知，则更多具有哲学思辨的意义，显得高大上而缺乏扎实根底：虽然也强调“黑 / 白”、“是 / 否”，但更多是强调中间的混合态，即“中庸化”或边界不清、纯度不高的“是非”与“黑白”。

这些认知的不同，让自然科学在东西方发展的时空轨迹有很大不同。西方自然科学看起来因为这种二元论划分而具有明确的逻辑意义。二元论易于进行推理、分类和数学描述，也就衍生出了当代自然科学的基本认知，其成就无与伦比。而在东方，则强调连续和模糊的“辩证法”模式，强调整体和利益最大化取舍 (例如追求 1 + 1 >> 2)，诸如此类，可称为“中庸化”。这种中庸，虽然未必“无与伦比”，但也算功效卓著。

此番论调，当然只是浅薄感受，当不得真的。自然科学的逻辑思维，让人类有了定义、分类、规范与一对一的因果关系认知。物理学有四大基本作用力，有电和磁，有物质的层级构造和承上启下，有金属态和绝缘态，如此等等。这些逻辑之概念清晰严格、内涵外延清澄、规律严谨完备。数学有维度、二进制、整数 / 实数，如此这般。这些认知虽难以一一列举，但每一层次都示性清晰、环环相扣。如此概念清晰、目标明确的问题，其解答过程或答案，也会简明扼要、明确无误，让人们在日常昏昏耗耗之余感受到简洁、明确、环环相扣对应。人们对自然科学，特别是对物理学和数学的内涵与表达一直仰望有加、敬佩无穷，是有原因的。

图 1. 笔者心目中所谓的 0 / 1 两态分类逻辑，及对“中庸化”的理解。

(A) 西方哲学和社会学者认知世界的粗暴表达：黑与白、是与非、美与丑 (when everyone in the world sees beauty, Then ugly exists. When everyone sees good, Then bad exists.)。(B) 中庸化逐渐将黑白混合杂化为各自带有对方色彩的混合式：不那么黑、不那么白。(C) 东方的所谓太极八卦表达：黑白之间既有区分、亦可和谐纠结在一起？

(A) from https://thedailyzen.org/2017/10/30/understanding-dualism/。

真实的自然学科图景，当然未必如此。即便学科始创之初是如此，演化到当下科学前沿后，图景也有了许多变化，出现了繁杂和多层面交叉混同。科学人美其名曰“学科交叉”、“知识集成”。到了今天，知识的面貌越来越复杂、越来越纠缠，已发展到靠人脑已难以掌控而不得不诉诸“人工智能”和“机器主宰”。这是调侃、是夸张，但也大致如此。

举些 Ising 比较熟悉而自以为是的例子。

(1) 二进制两态存储。数学和信息科学中，二进制应是最 NB 的计算规则，也是影响自然科学思维最深刻的表达。图 2(A) 显示一个例子。诸如 0 是 yes、1 是 no，无是 0、有是 1，黑是 0、白是 1，空是 0、满是 1，都是如此。有了这样的表达赋值，二进制就能无往而不胜，其普适性和无处不在的霸主之位无人置疑。即便是物理学用来表达功能的两态信息存储，也是基于二进制的衍生，最典型的表达就是两态 Ising 模型。也正因为这种两态存储的观念，冯 • 诺依曼架构也就得面对今天的存算分离和存储墙问题。随着所谓神经形态和类脑计算概念的发展，二进制逐渐被模糊，正在被多态和模拟信号等新的存算一体化理念部分取代 (能不能真的取代之尚无定论)。这是“中庸化”吧？

(2) 金属还是绝缘体。凝聚态物理中，这是一个能带问题，也即是否导电的问题。无带隙即金属，有带隙即绝缘体，半导体也大都是带隙不小的绝缘体。图 2(B) 显示其中图景。早先的物理人，无论是提出概念、发展理论、预测和研发材料，都不大去考虑那些带隙很小的体系，而是要么取大带隙的绝缘体做铁电、光电和光学之用，要么取无带隙的金属做导电之用。金属和绝缘体，在凝聚态分类中也就是0 / 1 两态。后来，磁性介入、超导介入、热电介入，那些小带隙的固体纷纷登场，给原本简单明了的 0 / 1 两态分类带来中间状态。这是“中庸化”吧？

(3) more is different。这是安德森那个著名的“演生”问题，原本是老先生因“负气”挑战“因果还原论”而提出的、火药味很浓的凝聚态物理宣言。原本的认知是：在物质世界组成的若干个层次中，上一尺度 (大尺度) 物态的某一 0 / 1 性质，必定是下一尺度 (小尺度) 许多个物态的某一 0 / 1 性质集合而成。求解这个集合，就能得到上一尺度的如此 0 / 1 性质。安德森说不是这样，这上一尺度物态有它自己新生的、下一层次集合原本无法赋予的新性质。图 2(C) 显示的乃是一个物态，经过大粒子集合后可呈现新的不同物态 (氦超流)。这应该是 1 + 1 > 2的逻辑、是“中庸化”吧？

(4) 磁电耦合。这是 Ising 虚委半生的领域，虽然只有学习的份。这里的“磁”和“电”分别表达“铁磁性”和“铁电性”，它们原本互斥、互不干扰，如图 2(D) 所示。好的电，必然是远离磁，越远越好，反之亦然。现在要将它们耦合在一起，希望实现“要风得风、要雨得雨”。虽然实际上难以逃脱“微风细雨”的窘境，但毕竟也算风雨兼得。这也是“中庸化”的一种模式。

(5) 超导电性。将“超导”这一大物理拿来做 0 / 1 调侃对象，虽然不大合适，但却也与本文主题相得益彰。超导的主题是电子配对。两个自旋相反、动量相反的电子，于空间通过声子联系 (电 – 声子耦合)，组成一个库珀对玻色子。大量玻色子相干凝聚，形成超流态而超导，这是 BCS 单态电子配对超导机制，即常规超导机制。这一机制排斥磁性、拒绝电子强关联，是 0 / 1 的一个极端。另一方面，磁性或电子关联介入，可能引入自旋涨落配对机制之类，可能得以支撑铜基、铁基、重费米子、镍基等非常规超导电性，是 0 / 1 的另一个极端。图 2(F1) / (F2) 所画乃这两个极端的一种简单示意。需要指出，非常规超导因为磁性和电子关联，通常伴随诸多新的量子态，如电荷密度波  CDW、配对密度波 PDW、自旋密度波 SDW、向列 nematic 相、手性自旋态等。非常规超导研究，正在付出巨大努力，揭露这些伴随量子态的真面目，以窥视它们与非常规超导态之间如何才能“度尽劫波兄弟在”。

图 2. 笔者自以为是编辑的几个所谓“两态”实例。

(A) 数学上的二进制，可用来表达、承载和运算所有信息、且只有“0 / 1”两态组合即可，但不能说仅仅只有 0 / 1。这是伟大的成就。(B) 固体能带理论中价带和导带都占据一定能量区间，但物理人认为费米能处有载流子就是金属，没有就是绝缘体。(C) 用 He³ / He⁴ 的超流特性来表示 more is different，不算无理。粒子的集合，可演生新的物理，而此物理非离子相互作用能推演出来。(D) 磁电耦合 (静态) 在麦克斯韦方程中是不可能的，要么电、要么磁。特定的磁或电组合，却可以得到一个不错的“中庸态”。(F1) 电 – 声子耦合导致库珀电子配对，自旋单态是前提。(F2) 自旋涨落导致电子库珀配对，无需电 – 声子耦合介入。这里，有没有某个“中庸态”可以左右逢源？量子材料人相信有！

(A) https://www.electrical4u.com/binary-number-system-binary-to-decimal-and-decimal-to-binary-conversion/。(B) https://www.jove.com/v/11357/band-theory。(C) https://www.scphys.kyoto-u.ac.jp/research/group/physics-1_english/t4-1.shtml。(F1/F2) J. Hwang, SR 11, 11668 (2021), https://www.nature.com/articles/s41598-021-91163-w。

这里堆砌的每个例子，都以“中庸化”关键词结尾。事实上，审视一番，可看到这些“中庸化”的手法，似乎就是将 0 / 1 两个极端态的稳定性削弱一些，以求给“中庸化”一些抛头露面的机会。从能量角度看，稳定性来源于深势阱，操控之就需要较大能量，即所谓的大能标过程。压制这些大能标过程，即部分填充势阱，即可显著压制 0 / 1 两端，中庸的小能标们就可以登场了。

如上铺垫，絮絮叨叨，无非是为了渲染本文要触及的、超导电性的一个前言研究方向，即 kagome 笼目金属化合物 AV₃Sb₅ (A = K, Cs, Rb) 及其中的超导电性。过去一段时日，Ising 下笔写过几篇关于这一体系的读书笔记，如《》、《》、《》。写作下来，深感一篇比一篇迷糊和“中庸化”。其中的物理考量和令人意外的后果，感兴趣的读者可点击御览。大致的物理思路是：其一，kagome 笼目晶格是一类准二维的、平移对称性低的结构，很像双层魔角石墨烯构造的 Moire 晶格，能压制载流子动能项，显著平带化能带。其二，这类体系，不含磁性离子，电子关联也弱。如此，诸如铜基超导那般通过自旋涨落实现库珀配对的可能性不大。

也即是说，超导物理中常规超导的 0 和非常规超导的 1，在 AV₃Sb₅ 这里似乎都是“有劲使不上”的模样。于此，“中庸化”就可登场了！果然，过去几年，对这类 kagome 笼目化合物的探索，展示出这类体系的独特性和“中庸化”特征，令人印象深刻，如图 3 所示：

(1) 平带化明显，有狄拉克点和 van Hove 点，和魔角石墨烯很像，是 kagome 晶格的做派。载流子动能被压制，意味着这是一类关联体系，而且还携带拓扑表面态。

(2) 多种表征证明，超导电性乃是 s 波常规超导，看起来是很典型的 BCS 物理。

(3) 多个相变，包括从高温无序相到 CDW，再到 nematic 相，最后是低温下的超导相 (s 波超导)，又展示了类非常规超导做派的一系列特征。

第 (1) 点和第 (2) 点，显示这里的超导电性，分别有 0 / 1 两个极端的特征。第 (3) 点则显示非常规超导的那些伴随特征，与 Ising 的“中庸化”谬论相符。至此，读者应能理解，为什么超导物理人不放过这个 kagome 金属体系 AV₃Sb₅。毕竟，这样好的“中庸化”平台，实在不多见！

图 3. 有关 kagome 结构化合物 CsV₃Sb₅ 的一些基本知识点。

(A)晶体结构的 ab面俯视图示意，显示有 V / Sb 组合构成的 kagome结构。(B) 晶体结构及其参数 (a) 和能带结构主要特征 (平带、拓扑狄拉克点和 van Hove 奇点) (b)。(C) 温度轴上的相变标记，包括 CDW 相变点 T_CDW、nematic 向列相变点 Tnem 和低温超导转变 T_SC。(D) (a) 定性描绘的相图，显示高温区 CDW 随等静压变化的演化进程。(b) 相干库珀对和非相干库珀对的配对模式。(c) 几类超导体之超导转变温度与磁穿透深度平方的依赖关系。(d) 两种 CDW 构型，一种是 2 × 2，一种是 1 × 4。这些结果显示，将 s 波常规超导与非常规超导的物理特征，各取部分来进行“中庸化”，就是这 kagome 物理。

(A) https://english.hf.cas.cn/nr/rn/202111/t20211129_293208.html。(B) / (C) 奉熙林等，《物理学报》71, 118103 (2022), https://wulixb.iphy.ac.cn/article/doi/10.7498/aps.71.20220891。(D) J. X. Yin, Science Bull. 68, 568 (2023), https://doi.org/10.1016/j.scib.2023.02.035。

来自中国科学院物理研究所周睿老师、高鸿钧老师等，与日本冈山大学  (Okayama University) 郑国庆老师 (Guo-qing Zheng) 及北京师范大学的合作者一起，对 kagome 笼目金属 CsV₃Sb₅中 CDW 与超导电性开展了探索工作。在以国内有生力量为主的高强度投入背景下，这类体系中的 CDW 已被广泛关注，包括几个重要的动机：

(1) 一般而言，CDW 被认为是电 – 声子耦合的结果，因此与 BCS 的库珀对同源。它们之间是竞争对手，从知己知彼角度亦需要关注 CDW 物理。

(2) 一般非磁性体系，CDW 相不会破坏时间反演对称性。但是，这类体系的 CDW 破坏了时间反演对称。物理所的胡江平老师他们，认为这一特性源于轨道磁矩的某种手性交替排列结构。这一新的特征是否影响低温区电子配对，尚未可知。

(3) CDW 相变温度较高，而超导转变温度低很多，中间温区还存在打破了 kagome 点阵的 C6 对称性的 nematic 向列相。如此两重对称的调制结构，作用何为，尚未明了。

深入而全面理解笼目金属 CsV₃Sb₅ 中 CDW 的结构、相变行为，看起来很必要。过去数十年，超导物理人历经高温超导的风花雪月，也历经追寻超导机制的万水千山，得到很多经验教训。其中一条经验是：非常规超导电性或超导相，总是与另外某个有序量子相相联系。它们此起彼伏，通过一个量子临界点 QCP 完成相互转换。通过外场或内禀参量，操控 CDW 产生或湮灭，揭示这一 QCP，也是不错的课题。

周睿 / 郑国庆 / 高鸿钧老师他们选择用压力操控 CDW 的演化。这是超导研究的标准方法，同行也已开展了此类研究。压力调制 CDW 归隐于 QCP、进而诱发或操控超导电性，亦不是新观点。事实上，对 CsV₃Sb₅ 中的 CDW，已有工作揭示静水压会压制 CDW，伴随超导转变温度提高。周老师这一工作的特别之处，在于利用了核磁共振谱学 NMR 中的核四偶极共振谱 (nuclear quadrupole resonance, NQR) 来探测 CDW 相。

一般读者常读到 NMR 探测量子材料的工作，但相对较少听说 NQR 这一探测方法及其背后的原理。对 Ising 亦是如此：NQR 乃新事物一枚。据文献，NQR 乃利用原子核普遍存在的电荷四偶极子对局域电场梯度的共振响应 (偶极子能级有其对应的共振频率，大约在 MHz 量级)，来精确探测原子核周围的空间电场 (梯度) 分布，从而反推其周围的电子结构。很显然，CDW 乃电荷密度波，也即电荷密度在空间呈现梯度调制。因此，NQR 是探测 CDW 局域结构畸变的最好方法之一，虽然它的运用要求有很高的数据解谱技巧。

有意思的是，CsV₃Sb₅ 中的 Sb 同位素 ¹²¹Sb / ¹²³Sb，一共有至少十条 NQR 谱线。一一探测之，便能精确解构 CDW 在静水压下的结构畸变细节。对相关技术细节，Ising 在此就不班门弄斧了，感兴趣读者可参阅周老师他们不久前刊登在《npj QM》上的原始论文。Ising 按照自己理解，highlight 几点主要结果，并取来部分数据集成于图 4 中：

(1) 同行的 NMR 已揭示出，随压力增加，CDW 会从常态下公度的 star – of – David (SoD) 结构，演化为类条纹相 (4a₀ 波长调制)。周睿他们则解构出 CDW 会从 SoD 形态的公度相，逐渐演化为一种复杂形貌的非公度过渡相。所谓形貌复杂，指其由 SoD 结构单元与所谓的三角 – 六角交替排列 (tri-hexagonal, TrH) 结构单元沿 c 轴方向堆叠而成，如图 4(B) 所示。如此复杂的结构，能被解构出来，显示了作者的非凡功力。

(2) 即便是在静水压下 CDW 会不稳定，但短程 CDW 涨落依然存在，并一直延续到常压 CDW 之相变温度处。此处可见 CDW 是何等“威武不能屈”。此等坚强，对超导电子配对未必有利？

(3) 在压力达到 ~ 1.9 GPa 时，体系的确展现出类 QCP 特征，而此时体系的超导温度也最高。这种对应，再一次显示出 CDW 与超导电性之间的竞争，也昭示了 QCP 的作用。

(4) 高压下 NQR 数据也昭示，体系存在有较强的自旋涨落，虽然 CsV₃Sb₅ 不含磁性离子。这一结果，可能与轨道磁矩的贡献有关，显示轨道磁性不可小觑，也暗示有非常规超导的萍踪侠影。看起来，自旋涨落的存在，似乎合理解释了 QCP 之上超导电性依然没有消亡的实验观测。

图 4. (A) 不同静水压、不同温度下 ¹²¹Sb₁ (蓝线) 和 ¹²¹Sb₂ (红线) 对应的 NQR 测量谱。(B) SoD 单元与 TrH 单元混合形成 CDW 相的结构示意图。NQR 谱拟合结果也呈现于其中。(C) 从 NQR 谱解构而得的相图，显示类量子临界点 QCP 出现在压力为 ~ 1.9 GPa 附近。详细描述请见周睿老师他们的原文。

周老师他们的工作，在前人基础上，将等静压下 kagome 化合物 CsV₃Sb₅ 中的 CDW 结构演化细节展示得更为淋漓尽致，殊为可贵。这类 kagome 金属中不但存在原本多在非常规超导中出现的诸多量子态，而且与超导电性竞争，虽然这里的超导电性竟然是常规 s 波一族。或者说，立足“中庸化”而不是“黑白分明”的认知，物理人在这类材料中看到了更多未知、理解了更多未知、感受到更多丰富多彩。

当然，在这类“正常 s 波”超导体中，要出现超乎寻常的高温超导电性，看起来不那么乐观。只是，常规超导与非常规超导之间的 gap，并非虚无缥缈，而是多有隐于云雾之中的重崖叠嶂。能够深入其中，窥得一番风景，也是量子材料人的乐趣。

雷打不动的结尾：Ising 乃属外行，描述不到之处，敬请谅解。各位有兴趣，还请前往御览原文。原文链接信息如下：

Commensurate-to-incommensurate  transition of charge-density-wave order and a possible quantum critical point  in pressurized kagome metal CsV₃Sb₅

X. Y. Feng, Z. Zhao, J. Luo, J. Yang, A. F. Fang, H. T. Yang, H. J. Gao, R. Zhou & Guo-qing Zheng

npj Quantum Materials 8, Article  number: 23 (2023)

https://www.nature.com/articles/s41535-023-00555-w

Kagome 量子材料的专辑：

Ordered States  in Kagome Metals

Guest Editors: Stephen Wilson, Joseph  Checkelsky, Ziqiang Wang, Satoru Nakatsuji

https://www.nature.com/collections/bfiebceiic

备注：

(1) 笔者 Ising，任职南京大学物理学院，兼职《npj Quantum Materials》编辑。

(2) 小文标题“ Kagome是黑白还是中庸”乃感性言辞，不是物理上严谨的说法。这里只是表达 CsV₃Sb₅ 及类似的 kagome 笼目非磁化合物超导似乎就是 s 波超导，但伴随超导的那些 CDW、nematic 和 van Hove 奇异性、PDW 等量子态，又都是非常规超导物理的元素。到底是 s 波还是非常规？这里告知我们没必要去那么黑白划分。或者说，物理人迎来了一种“中庸”的超导物理。

(3) 文底图片来自于磁湖岸边 (20230214)。有梅花初开，其形态若 star of David 的 CDW 形态。小词 (20230130) 原本写别故乡、下金陵之行，有春意暗动之感。此处无非是表达在 kagome metal 这一类新体系中探索超导春意的想象。

(4) 封面图片显示了 kagome-CsV₃Sb₅ 晶格的三种结构 (nematic, star-of-David, normal kagome) 及 NQR 谱学原理图 (来自 http://peachgeranium.cocolog-nifty.com/blog/2012/11/nuclear-quadrup.html)。