微纳尺度导热的模拟方法简介

本人的前一篇《》里面提到，微纳尺度导热的重要现象包括热导率的尺寸效应、界面热阻、以及低维和纳米材料的导热等问题。这些效应是无法用宏观导热方程来描述的，因此必然需要新的控制方程来描述导热的现象。主要的计算方法包括基于量子力学的第一原理计算，基于牛顿力学的分子动力学模拟，和基于粒子动力学的玻尔兹曼输运方程，如果描述热辐射的波动效应，则还需要求解麦克斯韦方程。由于微纳尺度的热测量本身是一个比较困难的问题（回头有机会可以找个相关领域的同行来写个简单综述），因此模拟计算成为了非常重要的研究手段。考虑计算量的大小和近似程度的需求，不同尺度下的问题需要建立不同的模型并运用正确的计算方法来解决。对于新手来说，一定要明确自己研究的问题是哪个尺度的，并相应的选用正确的方法来解决。各种方法大致解决的问题尺度如下。

玻尔兹曼输运方程

传热的过程本身是能量的输运，扩散方程不适用的情况下，输运的过程可以使用玻尔兹曼输运方程来进行描述，玻尔兹曼输运方程基于经典的粒子动力学(Particle dynamics) 描述的是粒子在位置空间和速度空间中的演化过程，其输入参数是粒子间的相互作用（即碰撞项），以及粒子运动的速度，以及粒子的受力。传热过程本质可以理解为各种能量载体粒子的输运，包括声子和电子（导热）、光子（辐射）、流体粒子（对流）等。因此，模拟微纳尺度输运的过程，往往运用求解输运方程来开展。玻尔兹曼输运方程可以表达为

其中f是分布函数，f(x,p,t)描述了在位置x，动量p，时间t处分布的粒子密度。而玻尔兹曼输运方程描述了该参数的演化过程。这个公式大致的物理意义是：粒子密度的变化（第一项）是由于流进、流出的粒子数（第二第三项），散射的粒子数（第四项），以及粒子的源（第五项）来决定的。具体可以参考下面的图片（来源于美国密西根大学Kaviany教授的《Heat Transfer Physics》）.

从我本人的经验以及带学生的经验来看，初学者一般不太容易理解玻尔兹曼输运方程，因此需要反复学习和体会。难点之一是理解相空间，即上图这个虚线小框的物理含义，其次是理解分布函数f的概念。这两点需要反复琢磨和体会。本质上玻尔兹曼输运方程是基于粒子守恒的思想。更多细节建议大家阅读《Heat Transfer Physics》一书，有玻尔兹曼输运方程的详细推导，本人觉得非常有帮助。另外MIT陈刚教授的《微纳尺度传热》一书也可以参考，该书有中文版。

需要注意的是，玻尔兹曼输运方程是基于粒子输运的假设，因此无法描述光子和声子的波动效应（干涉、衍射等）。电子的波动效应在传热的研究里一般不需要考虑。

玻尔兹曼输运方程描述粒子的输运，原则上来说对于任何的载能子，都可以用该方程来描述。该方程需要我们输入的碰撞项，即上面方程的等式右边第一项。碰撞项取决于输运的粒子的类型和具体的输运场景，例如在传热过程中，电子会和声子、杂质缺陷等进行碰撞，声子会和声子、电子、杂质缺陷、边界进行碰撞，而光子主要和边界、界面进行碰撞，流体粒子之间可以相互碰撞。因此描述不同的粒子的碰撞的方式不同，因此需要针对不同的物理问题建立不同形式的玻尔兹曼输运方程（注：对于热辐射，一般称辐射输运方程）。

第一原理计算

晶体中导热依靠电子和晶格振动（即声子），其碰撞需要薛定谔方程来进行描述。第一原理计算可以认为在一定近似的情况下数值求解薛定谔方程的算法，因此获取材料的波函数、原子相互作用等各种信息。对于传热来说，其最重要的作用是可以用来计算玻尔兹曼输运方程里的各种散射项。近年来用来计算微纳尺度非金属材料热导率的，主要依靠第一原理非简谐晶格动力学方法加上玻尔兹曼输运方程。如果要计算金属，则需要进一步考虑电子和声子的碰撞过程。除此之外，第一原理计算可以结合洛伦兹模型描述材料的红外发射率，结合非平衡态格林函数方法描述固体界面的声子透射率。下图是我们课题组用第一原理计算的镍铝金属化合物的热导率（Int. J. Heat Mass Transfer, 117, 972-977, 2018）。

第一原理计算的原子间相互作用非常准确，但是问题在于计算量太大，几乎无法解决大于200个原子的体系（或晶胞）。

分子动力学模拟

不同于第一原理计算，分子动力学模拟假设原子之间有某种简单形式的相互作用，基于的是经典的牛顿力学方程描述原子的运动，因此可以“真实”的模拟一个体系里的原子运动规律，分子动力学非常直观，对于建立微观尺度的物理图像也非常重要，因此强烈建议所有对微纳尺度模拟计算有兴趣的同行，首先学习一下。只要有基本的热学或者统计物理知识，学习分子动力学基本原理只需要阅读Wiki即可。之前的一篇公众号文章对该方法进行了简要介绍（）。

在传热领域，可以运用分子动力学直接获得材料的热导率和两个不同材料之间的界面热阻。也可以用来描述微小尺度下流体粒子的运动规律，包括各种的流动和相变过程。近些年来，通过各种的谱分析方法，可以使用分子动力学手段进一步提取各种声子的信息，比较常用的主要是谱密度分析方法(Spectral Energy Density Analysis)，这种方法常常被用作低维材料导热机理的分析手段。

和第一原理计算同属于原子尺度的模拟，但是分子动力学不描述电子的行为，因此无法用于计算电子相关的性质。另外，分子动力学基于经典的作用势函数来描述原子相互作用，是一个极大的近似，没有任何的基本原理保证经典势函数的准确性，因此分子动力学只适合定性的描述物理过程，而定量获取的具体数值从原理上说是不可信的。