物理文章若染尘：又是kagome

杨振宁先生曾经对狄拉克和海森堡撰写文章的风格有过评价，其大意是：狄拉克的文章堪称“秋水文章不染尘”；海森堡的文章自然也深邃而博大，但就没有老帅哥狄拉克的文笔那么清晰、甚至偶尔还有可议论之处。“秋水文章”这句话，乃出自清朝名士邓石如先生题于其书房中的一幅楹联，本意是说文辞笔墨应该如秋水一般、不染半点世俗尘埃。具体到物理文章，应该是说要干净 (clean)、明晰 (simple / clear) 且优雅 (delicate / smooth)、开阔 (open)。杨先生对物理世界早已洞若观火、通透清明，他对文章的评价虽属个人见解，但就物理文章应有的特征而言，他的“秋水文章”自然是一语中的。

众所周知，物理文章，其最鲜明的特点就是干干净净、明明白白，所谓言之有据、释之有理。具体到凝聚态物理，在 Ising 看来，这里的“理”，就是大学物理、固体物理 / 量子力学教科书中的那些基本原理知识，而不是那些“观测到的”、“猜到的”、“计算出的”的结果。为此，物理人不得不、也痴迷于用万千聪明和手段去营造出干净、单纯的研究环境 / 前提，从而得出可靠、可信甚至可定量准确计算的结论。一些极端情况，即便面对的问题有万千复杂性，也勉力去一一澄清、理明。久而久之，物理人在拜读一些材料和工程领域的文章时，会经常性地陷入疑惑、迷茫和 frustrated state。久而久之，规范正统的物理期刊的影响因子越来越低 (或者停滞不前)、从事物理研究的人们相对占比也逐渐下降，虽然物理人依然伫立高处、更加伫立高处而一览众山小！

如何能做到文章“秋水不染尘”呢？所谓尘埃，就是小、就是涨落、就是微扰、就是小能标过程。有两条途径做到这一点：站在远处、高处和大处，自然就看不见尘埃而不染尘 (尘埃可粗晶粒化 coarse – grained)；占住秋高气爽、风淡云清，自然就能不染尘 (制造干净极端条件、抑制排除尘埃)。数百年下来，物理人构建了“能量”和“对称性”两座最高峰，从那里看脚下多彩世界的结构、形态、流线和终点，都是秋水、亦罕尘埃。这一风景，引领凝聚态物理风骚数十年，一直到当下微纳低维世界、一直到量子材料这里。我们似乎开始了面临“一沙一世界、一物一图腾”的新特征、似乎开始了“物理文章始染尘”的科研。

图 1. “秋水文章不染尘”的艺术意象。

真的如此么？！所谓量子材料，Ising 写过一些歪瓜裂枣的入门文章，从不同角度去观望，如《》，如《》。简单粗暴而言，就是通过提升各种非周期、长周期 (比最小晶格周期大很多) 变化的势能和相互作用项的相对权重，将薛定谔方程中的动能动量项压制下去，从而引入量子自由度在时空中的关联耦合，来操控材料中的输运、响应和动力学。如此，固体物理中对固体“金属、半导体、绝缘体”三大传统意义上的分类，就不再清正严明，而是出现了很多必须一一把握的细节特征。Ising 冒昧将这一形态歧义为“一沙一世界、一物一图腾”的内涵。从能量角度看，就是裁撤掉体系中那些能量很大的“超级物理企业”，留下的都是如民企一般的“小微物理企业”。这些“小微”在源于元素周期表的那些街头巷尾、山水城乡里小本经营，从而吸纳更多“物理职工”就业和发挥作用，通过 more is different 来“涌现演生”新效应。

废话少说、大话少来，看几个比教科书知识还要 low 的例子：

(1) 超导与金属。如 Ising 这般不大了解超导电性的人们，通常会将超导与否和金属导电好坏联系起来，以为导电性越好的金属，其超导转变温度Tc应该越高。此等连超导人都不屑于去解释的基本常识谬误，被 Ising 捡漏来更正。姑且列出几个单质金属元素的 Tc：铜 (Cu) ~ 0 K、铝 (Al) ~ 0 K、金 (Au) ~ 0 K、银 (Ag) ~ 0 K、锡 (Sn) ~ 3.72 K、铅 (Pb) ~ 7.2 K、钴 (Co) ~ 0 K、铁 (Fe) ~ 0 K。结果似乎显示，导电性越好的金属元素，就越不超导 (以 Tc 来衡量)。另外，磁性金属不超导，因为常规超导必须是抗磁性的。

但是，导电性好的金属，为何超导能力反而更差？Ising 瞎子摸象，以为其中一个原因是：导电性好，主要是因为载流子浓度高、迁移率大，即载流子动能很大。相应地，载流子散射能量也很大。与此比对，促使常规超导电子配对的电 – 声子耦合能 (electron – phonon  coupling, EPC) 就显得矮小，斗不过载流子散射的能量，超导才难以抛头露面。因此，不是导电越好的金属其超导就越容易的，反而是那些恰到好处地将 EPC 凸显出来的固体，才有可能得到较高的 Tc。后来的高温超导研究，更是证明了这一点：很多超导体的正常态甚至是绝缘体和反铁磁体。

(2) 关联与金属。金属，因为足够高的载流子浓度和能带结构没有能隙 (费米液体)，载流子完全屏蔽电子关联，使之难以崭露头角。毕竟，电子关联，是轨道内和近邻轨道之间局域电子的库伦排斥所致。载流子浓度太高，就让电子气横扫空间的一切势能起伏，包括库伦势。因此，只有在那些费米面处载流子浓度大致在 ~ 10²⁰ cm^-3 以下、或有效质量很大的体系 (开始偏离费米液体)，电子关联才有机会体现。例如，强磁性合金、磁性过渡金属氧化物、重费米子体系、奇异金属等，即属于此。典型的母相体系，就是那著名的 Mott 绝缘体。新兴的成员，包括魔角石墨烯为代表的 moire 超晶格，都是通过在原本的金属母体中压制载流子输运、让关联效应凸显出来。很多平带体系之所以受关注，背景亦是如此。

(3) 拓扑与金属。可以确认，典型的拓扑绝缘体，都是那些导电性比较差的金属坏小子，包括一些著名的热电合金母体。之所以如此，皆是这些材料为了获得足够高的热电势，既不能没有带隙、也不能太大带隙、且位于费米能级上下的导带区 / 价带区之能带色散要足够丰富多彩。正是这一特点，才有可能让那些具有拓扑非平庸体能带的窄带半导体，在其表面处展现出线性化的能带交叉 (狄拉克点和锥 Dirac cone)。其它具有非平庸表面拓扑和体拓扑的材料，也展示类似的物理，包括外尔半金属和节线 (nodal line) / 狄拉克半金属。如果这些体系都是好的体态金属，那就基本没有拓扑量子态什么事了。太好的金属，就材料人所熟悉的物理性质而言，其霍尔效应太小、量子效应起始温度太低、抵抗外部干扰和外场激励的能力很弱，几乎都是很糟糕的量子材料。

(4) 磁性与金属。众所周知，最常见且物理相对平淡的量子材料，就是磁性材料。当下甚至有一个专门的亚领域叫“量子磁性”，正在兴起。即便是铁磁性，因为必须打破时间反演对称，以实现费米面处的能带错位 (shifting or spin –  splitting)，其导电性必然一般。可以说，自旋极化率越高的铁磁金属，其导电性一般越差，虽然也有例外。

这些例子所涉及的材料，都是数十年来耳熟能详的常见材料，其中蕴含的量子材料本性又被 Ising 翻出来炒剩饭、re-chatter 给一般读者，请行家谅解！当然，这些例子展示的规律，都不是绝对的、严格的，只是最初等的模样而已。总之，量子材料，见不得好的体态导电性，虽然超导态除外。

好吧，现在已经将载流子动能项这一“超级物理企业”拆解了，留下的都是一众“小微企业”。它们一般都灵动迅捷、响应灵敏、创新意识强，因此常被物理人拿来夜以继日、拿来观摩修饰。正是如此，量子材料，就很适应当前量子信息、量子科技的驱动与需求，是优先发展领域。

不过，即便是压制了载流子动能项，将天地留给了那些小微、瘦弱的相互作用、相互耦合，但这些“小微”数量多、难以垄断同化，因此它们也带来问题。例如，很多情况下，一个相互作用项，可能诱发、产生两个或两个以上的量子物态。例如，电 – 声子耦合 EPC，就可能导致电荷密度波态 (charge – density  wave, CDW) 和库珀对超导态，诸如此类。局限于操控小能标过程之手段和方法不多，物理人经常表现得左支右绌、难以达成追逐的目标。

同样，举两个例子来说明：

(1) CDW 与超导。CDW 已经是量子材料中耳熟能详的量子物态。CDW 和超导态都可源于 EPC。原本以为，既然超导电子配对源于 EPC，那就使劲提升 EPC 好了。遗憾地是，CDW 也出来与超导态竞争。梳理相关研究数据，虽然例外不少，但物理人已经大致清楚：CDW 转变温度越高，超导态 (if any) 的 Tc 并非就一定越高。从这个意义上，也不是 EPC 越强越好，还同时要看 CDW 能否被很好抑制住。这大概是超导人费心费力去钻研 CDW 各种性质的原因之一。

如果看非常规超导，还有更多的量子物态涌现，并与超导态形成共存、竞争。孰是孰非、谁输谁赢，颇有些毫厘之间、方寸之内。关于超导与若干关联物态的竞争，Ising 曾经写过的科普小文，欢迎读者前往御览一二。

(2) 关联 (平带) 与拓扑绝缘体。已经提及，拓扑绝缘体态需要有体能隙，如此才能得到那个被寄厚望的自旋动量锁定的表面态。然而，拓扑材料不能总不理睬那些过渡金属离子、不理睬那些强自旋 – 轨道耦合 SOC 元素。再者，如果要用其于自旋电子学，则引入磁性不可避免，这等于是引入关联和 SOC，能带平带化不可避免。电子关联介入，能带会扁平化，则非常规超导、CDW、SDW、自旋波这些物态或准粒子将可能进来，让拓扑量子态成为众矢之的、或面临诸多对手。

行文到此，Ising 用这种笨拙而马虎的“春秋笔法”，似乎是在将量子材料研究与杨先生推崇的“秋水文章不染尘”拉开距离、甚至对立起来。现在的量子材料，就其复杂性程度而言，已经完全可以和我们周围大量使用的那些化学材料、高分子材料、钢铁材料等工程化材料工程媲美了！不染尘，大概难以再做到。这些能标小的各种相互作用及其诱发的量子态，给体系带来了许多各种各样的“尘埃”。

面对这样的场景，杨先生倡导的“秋水文章”，在这里还可以继续出彩么？如果还可以，那依然还是令人羡慕的秋水文章。稍许染上一点尘埃，反而会显得更加立体而隽永！

Ising 狂妄，认为“秋水文章”依然可以！此时，不能再奢谈“无尘埃”、也不必再强求“秋水无尘”。物理人可能要面对新的场景：要么，向量子材料复杂性让步，就像材料和工程学科那般，尝试利用大数据、大模型、概率论、可靠性评估等，将这些复杂性装进一个大口袋，让 GPT 或 Sora 去搞定或加速。要么，坚持在“秋水文章”精神指导下，寻求变化和趋近、寻求可能的生存发展之道。Ising 当然更赞赏敬佩后者。

图 2. Kagome 金属化合物 AV₃Sb₅ 中三维电荷有序态 (CO) 的所有可能结构。

From M. Kang et al, Charge order  landscape and competition with superconductivity in kagome metals, Nature  Mater. 22, 186 (2023)

这里，呈现一个有一定代表性的实例，展示这种纯粹的物理之道在一个复杂量子材料中如何“秋水文章”的轨迹。也就是呈现本文标题“物理文章若染尘”会是什么形态。

实例的背景，源于量子材料人、特别是超导人，最近在具有笼目 kagome 结构的钒化物 AV₃Sb₅ (A = K, Rb, Cs) 中实现了生涯开挂。他们在这一类体系中留下的轨迹，就很能体现“秋水文章”精神依然是可行的、但也是艰难的。除了学术顶刊上已刊发过若干篇原创论文外，若干主流期刊也开设相关专栏。见样学样，《npj QM》也开设了专栏“Ordered States in Kagome  Metals”(https://www.nature.com/collections/bfiebceiic)，引起同行高度关注！关于这一体系，Ising 前不久写过几篇科普短文《》、《》、《》。读者可以前往快速浏览一番相关背景，费时不会很长^_^。

Kagome 点阵钒化物 AV₃Sb₅、特别是化合物 CsV₃Sb₅，可用如下几条相关物理效应的梳理来体现其引起的广泛关注：

(1) 这种 kagome 笼目晶格，具有数倍于晶格本身长度的长周期，对称性较低，显著压制了面内波函数的能标，给量子材料关联等效应进场提供了必要条件。强自旋阻挫、小带隙、平带、能带交叉、范霍夫奇点等特征很容易在此实现。由此，一系列能量小的电子有序态，涌现出来！

(2) 这几种钒化物都不存在长程磁有序，因为位于 kagome 格点处的自旋被高度几何阻挫了，一般认为就只能是顺磁性。宏观测量的确如此，但这些体系却有不能忽略的反常霍尔效应和局域磁有序结构，即时间反演对称性被打破，令人诧异。这意味着某种别致的关联作用进场。轨道磁矩也可能做出贡献，导致类磁性物理效应，

(3) 随温度降低，首先出现 CDW 转变，且转变温度不低 (T_CDW ~ 70 -100 K)。在 T_CDW 之下，会形成镜面对称相关的电子向列相。温度继续降低，进入超导态，且超导电性被大多数人归属于 s 波超导。很显然，CDW 与向列相、超导态之间的竞争物理，就变得重要。

(4) 能带结构表现出狄拉克半金属态，呈现出拓扑量子态特征。

(5) 更为奇特的，是这一系列还呈现与 CDW 相联系的对称性破缺。磁光和输运测量明确显示，CDW 具有手性 (chiral) 对称破缺，外加磁场 (也许电场) 似乎可以翻转这一手性。

这些梳理小结，看起来足够宣示钒化物 AV₃Sb₅的主要物理是繁杂的，多种小能标量子态依次迭进或堆砌，令人既目不暇接、又迷惑不解。需要指出，物理人已厘清，kagome  晶格结构和 V-3d 与 Sb-5p 轨道杂化，对体系电子结构有重要影响。几个主要效应，如阻挫、超导、CDW、chiral、拓扑、狄拉克半金属、反常霍尔等，在这一魔法一般的体系中这里或那里呈现出来。导致它们形成的那些相互作用，就如尘埃一般，坠饰在物理人对问题的理解中。

图 3. Electrical magnetochiral (EMC) 效应测量原理示意图。通过基频电流激励来测量倍频电压输出，以此表征磁手性对磁场方向的依赖关系。详细描述，可见来自 F. Pop 和 R. Aoki 他们的工作。所谓的 electrical magneto-chiral anisotropy (eMChA) 效应，源于外加磁场导致时间反演对称破缺与手性导致宇称对称破缺同时发生 (simultaneous breaking of time-reversal  symmetry by a magnetic field and of parity by chirality)。

From F. Pop et al, Electrical  magnetochiral anisotropy in a bulk chiral molecular conductor, NC 5, 3757 (2014); R. Aoki et al, Anomalous  nonreciprocal electrical transport on chiral magnetic order, PRL 122, 057206 (2019).

遗憾的是，占据化合物 A 位的 K、Rb、Cs 等元素，其物理化学性质似乎并无太大差别，但各量子态在这几个体系中的表现却有差别：或有或无、或强或弱、依赖表征方法、似乎也依赖样品质量。看起来，依然存在更多的相互作用未能露出面目，造成对这些量子态的理解和阐述不那么确定与可靠。

物理人要做“秋水文章”，当然不是因为固执和守旧，而是一种信念和内禀属性。虽然对量子材料，任何过于简单的结论，都需要慎重对待，但依然有漂亮而干净的研究涌现。来自德国马普物质结构与动力学研究所的凝聚态知名学者 Philip J. W. Moll 博士团队，就认为 AV₃Sb₅ 中还存在未被揭示的物理根源。例如，他们认为，对 chiral – CDW 起源的理解就依然存在不确定性，已有的观点和猜测看起来也缺乏足够好的自洽性。最近，他们与德国马普化学物理研究所知名化学物理学家 Claudia Felser 团队一起，联合荷兰 Radboud University、西班牙材料物理研究中心 / University of the  Basque Country、瑞士苏黎世大学 Titus Neupert 博士等合作者，通过细致梳理和比对，排除各种复杂性和不确定性，利用基于简单输运物理而发展起来的、对量子态手性有很高敏感性的表征方法： electrical  magneto-chiral anisotropy (eMChA)，测量 AV₃Sb₅ 的输运行为，取得进展！

所谓的 eMChA 方法，其大概的物理原理示意于图 3，相关原理描述可见图题引用的参考文献，在此不再絮叨。这一方法能够甄别时间反演对称和宇称是否会同时发生破缺，应该是表征 chiral CDW 对磁场响应的良好手段。

他们选择了 CsV₃Sb₅ (CVS) 和 KV₃Sb₅ (KVS) 两种样品，在强磁场下做一一比对测量 (测量磁场达到了 35 T)，其核心目标就是确认是否存在未知的相互作用存在。基于系统的实验和计算研究，通过深入分析和梳理，他们向读者展示了清晰无误的一个结论：的确存在某种关联效应未被认知！这一效应，能够诱发 CVS 中产生时间反演和宇称反演同时破缺，但在 KVS 中则不存在这一同时破缺。这一结果，显示两个极为类似的体系中 CDW 的行为却是不同的：或许 KV₃Sb₅ 中的 CDW 并无手性特征？或者其它？他们主要的结果被截取集成于图 4，相关说明显示于图题中。

图 4. Philip J. W. Moll 他们给出的针对 CsV₃Sb₅ (CVS) 和 KV₃Sb₅ (KVS) 的一一比对测量结果，显示出两个化合物中手性对称破缺特征有所不同。

(A) (a) 平面内 kagome 格子示意；(b) 晶体结构示意图；(c) 具有共性特征的能带结构示意图，清晰展示了平带、狄拉克点和范霍夫奇点。图片来自：奉熙林等，钒基笼目超导体，《物理学报》71, 118103 (2022)。

(B) 沿 c 轴的直流电输运，显示 CDW 转变特征。CVS 和 KVS 展示的结果是高度类似的。

(C) T = 2 K时测量的c轴电阻随磁场的变化。(a) 磁场从面内 a 方向向面外倾斜 2°(倾斜角) 时，测量得到的电阻 – 磁场关系。(b) 固定磁场大小，测量电阻与磁场倾斜角的关系。很显然，CVS 和 KVS 在磁电阻上虽然有数量上的区别，但定性行为相同。

(D) (a) 计算得到的能带结构，显示 CVS 和 KVS 在许多细节上都是一样的。(b) 电阻量子振荡测量结果，显示振荡频率 F 与磁场倾斜夹角的关系，显示 CVS 和 KVS 展示一样的行为。

(E) (a) 利用 eMChA 效应测量的倍频电压 V_2ω，显示 CVS 中倍频电压 V_2ω 对磁场有强烈响应，且随磁场正负翻转其符号也发生变化。对 KVS，则没有足够好的倍频信号产生！(b) 磁场倾斜不同夹角情况下，CVS 和 KVS 中磁手性电导 Δσ (magneto-chiral conductivity) 随磁场的变化，显示出 KVS 没有磁场依赖性。(c) KVS 中倍频电压信号与磁场的关系，注意量级小 1000 倍，且对倾斜夹角变化无响应，显示数据可能来自于误差。

Philip J. W. Moll 他们的结果，刊登于最近的《npj QM》中。无论如何，读者看到的是，即便有了那些尘埃，文章的呈现还真如秋水一般明确清澈。他们的文章以简洁而对比强烈的模式，展示出这两个体系在晶体结构、能带结构、直流输运、量子振荡、磁输运等行为上是如此类似。当我们很有信心地准备推定这一类体系的一般性规律时，eMChA 测量结果又显示 CDW 手性对称性背后还有未知的物理机制 (或许是电子关联) 参与。这一结果也说明，这类化合物，其中量子物态的得失、竞争与共存，似乎已变得脆弱敏感。体系的物态，有点如量子力学的“薛定谔猫”那般，其状态变成与测量过程相关，即测量前后的状态可能是不一样的。难道这种测量相关性，才是安德森“more is  different”的精髓？

针对具有 kagome 点阵特征的量子材料已成为一类坠饰有各种物理“尘埃”的系统，这一工作，或者说这篇文章，作为一个典型实例，显示出物理人是如何竭尽所能做出“秋水文章”的。标题中所谓“物理文章若染尘”，正是这一背景故事的反映。在复杂的量子材料中，物理人最适合、也最能胜任“厘清其中万象”的角色，呈现给我们由宋代石象之先生吟唱的“若有尘埃何处隔，此中自是少尘埃”意象。

雷打不动的结尾：Ising 乃属外行，描述不到之处，敬请谅解。各位有兴趣，还请前往御览原文。原文链接信息如下：

Distinct switching of chiral transport in the kagome metals KV₃Sb₅ and CsV₃Sb₅

Chunyu Guo, Maarten R. van Delft, Martin Gutierrez-Amigo, Dong Chen, Carsten Putzke, Glenn Wagner, Mark H. Fischer, Titus Neupert, Ion Errea, Maia G. Vergniory, Steffen Wiedmann, Claudia Felser & Philip J. W. Moll

npj Quantum Materials 9, Article  number: 20 (2024)

临江仙·寒尘芳菲

又见水天怀浩邈，才知君欲流离

拟招九派润新时

瘦风梳冻草，丝柳织长堤

若惧今日寒更虐，君归须着春衣

岸东晚照半空枝

行人数几个，个个惹芳菲

备注：

(1) 笔者 Ising，任职南京大学物理学院，兼职《npj Quantum Materials》编辑。

(2) 小文标题“物理文章若染尘：又是 kagome”乃感性言辞，不是物理上严谨的说法。这里只是表达量子凝聚态和量子材料人在面对如此复杂纠缠的量子关联体系时，该如何能够做到“秋水文章不染尘”。量子材料不断走向低能标、走向多序参量自由度交织，要做到干净明晰的处理和理解，很不容易、也很了不起！

(3)文底图片拍摄于合肥蜀山湖岸 (20240125)。小词 (20240228) 原本写寒春时节的傍晚在湖东岸徘徊，想不明白为何冬春之水天会如末秋一般浩邈 (秋水)。寒尘之中，依然有芳菲之物理值得窥探。

(4) 封面图片显示了实空间中一个分子手性的模样，作为 chiral CDW 的某种表达。