【DFT+MC】Si-Ge界面处非平衡态声子引起的热阻

第一作者：Xun Li (李珣博士), Jinchen Han (韩金辰）

通讯作者：Sangyeop Lee

单位：美国匹兹堡大学

论文信息：Materials Today Physics 34C (2023) 101063

研究摘要： 

基于第一性原理的蒙特卡罗方法求解的玻尔兹曼传输方程揭示晶体界面传热中非平衡态声子引起的界面热阻不可忽略。

研究概述：

随着纳米结构在器件中的普及，材料热界面在热输运问题中愈发重要。然而，由于其复杂的物理机理，从原子尺度至微观尺度的界面热输运仍有待进一步理解。之前关于界面热阻的研究主要集中在原子尺度的界面-声子散射，但忽略了微观尺度上声子-界面和声子-声子散射的复杂相互作用。

最近，美国匹兹堡大学的Sangyeop Lee教授课题组采用动态蒙特卡罗方法（MC）结合第一性原理计算来求解稳态下的Peierls-Boltzmann输运方程(PBE)，模拟了Si-Ge块体间界面的声子输运现象。研究发现在界面附近，特别是在Ge一侧，声子处于高度非平衡分布。基于Boltzmann的H定理，界面附近非平衡态的声子分布可导致声子-声子散射过程产生显著的熵生成和热阻。此工作计算了由声子-声子散射引起的局域熵生成，并定量分析了界面附近非平衡态声子散射产生的热阻，发现声子-声子散射产生的热阻大于直接由界面散射产生的热阻。进一步的分析表明，Ge明显的声子非平衡效应可能来源于Ge和Si在声子色散、态密度和群速度的失配，这些因素也可用于估计其他界面的界面热阻的非平衡效应。此项研究填补了原子尺度与较少研究的微观现象之间的空白，对全面理解界面热输运及揭示声子-声子散射的重要作用具有重要意义。该研究工作发表于《Materials Today Physics》，李珣博士（现于美国橡树岭国家实验室）和韩金辰博士研究生为论文共同第一作者。

近年来，快速散热已经成为从集成电路到大型数据中心等各种设备面临的最大挑战之一。随着电子器件内界面密度的增加，界面热阻可超过材料本身热阻而成为主导热阻，因此界面热输运在热管理和能量转换过程等应用中具有重要意义。然而由于热界面的复杂性，如原子结构失配、热能载流子间的相互作用等，目前对界面热输运现象的理解仍是研究热点之一。

尽管最近分子动力学（MD）和原子格林函数(AGF)在原子尺度上显著提高了对界面声子输运详细机制的理解，然而这些方法无法在微米尺度上分析热界面附近的声子-声子及声子-界面散射的复杂相互作用。其中，MD模拟通常模拟尺度小于材料的很多声子的平均自由程，并假设具有平衡声子分布的热库；而AGF通常与Landauer公式相结合，忽略了声子-界面和声子-声子散射的综合效应下的可能导致的非平衡态声子分布及其弛豫过程。根据玻尔兹曼的H-定理，声子-声子散射在弛豫由界面导致的非平衡态声子时会产生熵生成和热阻。因此，在微观尺度下综合分析声子-界面和声子-声子散射的影响，对正确理解界面热阻非常重要。

1. 界面-声子散射导致界面附近声子高度非平衡分布，并在声子-声子散射弛豫过程中产生显著热阻

通过求解PBE可得到在界面-声子散射和声子-声子散射共同影响下的Si-Ge界面声子分布；而后根据实际声子分布可计算出局域的温度偏离(temperature deviation)、热流非对称性(asymmetry of heat flux)、熵生成速率(entropy generation rate)和热阻率(thermal resistivity)。如图1（a）所示，在界面附近的温度梯度，特别是Ge一侧，呈现明显的非线性，反映出Ge在界面附近的声子非平衡分布。图1（b）中界面附近较大的热流不对称性表明群速度与热流方向相同或相反的声子对热流的贡献有明显差异，界面附近的声子处于高度非平衡态。图1（c）中，三声子散射在弛豫界面附近的Ge一侧声子时的熵生成率更高，证明了Ge在界面附近的声子分布比远端声子的分布更加非平衡。图1（d）中通过非平衡态声子的熵生成率计算得到的局域热阻率反映出，Ge在界面附近由于三声子散射弛豫非平衡态声子产生的热阻率更大，进一步量化了Ge附近的声子非平衡。

图1：蒙特卡洛求解PBE得到300K下Si-Ge界面热输运性质 (a) 基于300K的温度偏离显示Ge一侧的温度梯度较大 (b) 热流不对称性显示出在界面附近声子显著非平衡分布，(c) 局域熵生成速率显示在Ge中有过量的熵生成，(d) 由于非平衡态声子的声子-声子散射导致的热阻率。

如图2所示，通过对局域热阻率进行积分，界面热阻可被分解成：(i)由界面-声子散射直接导致的热阻（R⁰int），和(ii)由三声子散射弛豫非平衡态声子产生的非平衡热阻（Rneq）。通过与其它理论或实验方法报告的结果进行对比发现，考虑了声子非平衡弛豫过程的界面热阻明显高于其它方法和文献中报告的热阻。

图2：MC模拟求解PBE得到的界面热阻分解与其它理论、实验文献结果对比。

2. 温度高于德拜温度后，Si-Ge界面热阻不再随着温度升高而显著降低

图3总结分析了100K到600K下的界面热阻变化。在图3(a)中，PBE结果显示在界面温度高于Ge的德拜温度后，界面热阻不再随温度升高而显著降低，这与之前部分文献中用非平衡分子动力学（NEMD）和非简谐原子格林函数(anhAGF2)方法发现的界面热阻随温度升高而显著降低的趋势不同。图3（b）总结了不同温度下的分解界面热阻，我们发现随温度增加，界面热阻的各个部分在温度高于Ge的德拜温度后均不再明显降低。

图3：界面热阻随温度的变化 (a) 不同方法计算的300K以上归一化界面热阻 （参考温度300K，EMD数据350K）（b）从100K到600K的分解界面热阻。

3. 界面材料间声子色散、态密度、和群速度的失配以及材料本身的三声子散射率均会影响非平衡态声子界面热阻

图4和图5总结了通过研究多个虚拟界面分析声子色散、态密度、群速度和三声子散射率对界面热阻的影响。图4（a）的结果表明，通过调整虚拟Si的质量来匹配界面两侧材料的声子色散(⁹⁶Si/Ge)可以有效降低界面热阻，尤其是降低非平衡态声子导致的界面热阻；同时，德拜温度更低的一侧非平衡热阻更大。图4（b）的结果进一步表明，匹配材料的声子态密度(Si/Ge’)和声子群速度(Si/Ge”)均可降低材料的界面热阻，特别是降低非平衡热阻。基于以上结果，我们认为是Si和Ge的声子色散不匹配导致了Si-Ge界面较大的非平衡热阻。

图5（a）中，我们发现增加界面在100K下的三声子散射率(100K τ-mod)可降低界面热阻，其原因可能是由于强化散射加快了非平衡态声子的弛豫，从而显著降低了非平衡热阻。而通过进一步强化三声子散射至无序相散射水平（τᵢ=(2ωᵢ )⁻¹），如图5（b）所示，界面热阻会得到极大降低，非平衡热阻几乎可以忽略不计。

图4: 300K下Si-Ge界面的分解界面热阻（a）最大振动频率与Ge相同的虚拟Si (⁹⁶Si/Ge)，最大振动频率为Ge的一半的虚拟Si (³⁸³Si/Ge)（b）声子群速度与Si相近的虚拟虚拟Ge（Si/Ge’），声子态密度与Si相近的（Si/Ge”）虚拟Ge。为了方便比较，同时列出原始Si/Ge的分解界面热阻，且对于所有虚拟材料，散射率与原始散射率相同。

图5: 三声子散射率对非平衡界面热阻的影响（a）100 K下采用300 K三声子散射率的Si-Ge界面(100K τ-mod)与100 K和300 K下的原始Si-Ge界面(100 K和300 K)的分解界面热阻比较（b）300 K下使用三声子散射率为τᵢ=(2ωᵢ )⁻¹的Si-Ge界面(Si*/Ge*)与300 K下的原始Si-Ge界面(Si/Ge)的分解界面热阻比较。